2.1 Producto escalar (pe)

1. Producto escalar (pe)

Definición: Sean  (x₁, x₂, . . . , x_n), (y₁, y₂, . . . , y_n) dos vectores en Rⁿ, el producto escalar se define por:

(x₁, x₂, . . . , x_n) · (y₁, y₂, . . . , y_n) = x₁  · y₁ + x₂  · y₂ + . . . +  x_n · y_n 

Ejemplo 1.  Calcular el producto escalar de los vectores (4, -1, 1, 0.5)  y (-1/2, 2, 0, -8)

Solución:  

(4, -1, 1, 0.5)  · (-1/2, 2, 0, -8) = 4·(-1/2) + -1 ·(2) + 1 · (0) + 0.5 · (-8) = - 2 + -2 + 0 + -4= -8

2. Norma de un vector

Definición: Sean  x= (x₁, x₂, . . . , x_n) un vector en Rⁿ, la norma de un vector se define por:

|x| =  √ x · x      donde   ·   es el producto escalar.

es decir;

|x| = √ ( x₁² + x₂² + . . . + x_n²  ) 


Ejemplo 2.  Calcular la norma del vector  a = (4, -1, 1, 5).

Solución:  

|a| =  √  ( (4)² + (-1)² + (1)² + (5)²  )
     =  √  ( 16 + 1 + 1 + 25  ) 
     =  √  ( 16 + 1 + 1 + 25  ) 

     = √ 43

3. Ángulo entre vectores

Teorema: Sean a y b dos vectores en Rⁿ entonces 

θ = cos ^-1(a·b / |a||b|)

Demostración:

Ejemplo 3. Sean (1,1,1)  y  (1,1,-1) dos vectores en R³ hallar el ángulo entre ellos.

Solución:

θ = cos ^-1((1,1,1)·(1,1,-1) / √3 √3 )

θ = cos ^-1( 1 / √3 √3 )

θ = cos ^-1( 1/3 )

θ ≈ 70.5°

4. Ejercicios

1. Calcular el producto escalar de los vectores (3, -1, 2, 0.5)  y (-1/2, -2, 1, -2)

2. Calcular la norma del vector  a = (-3, -2, 1, 2).

3. Sean (1,2,3)  y  (1,-2,-3) dos vectores en R³ hallar el ángulo entre ellos.