1. Números complejos
1. El sistema de los números complejos
Definición: i2=-1Definición:
C={a+bi : a, b son números reales}
es el conjunto de los números complejos.
Observación: la notación de un número complejo a+bi se llama binómica.
2. Operaciones con los números complejos
Definición: Si (a+bi) y (c+di) son dos números complejos, entonces:SUMA: (a+bi)+(c+di)=(a+c, (b+d) i)
MULTIPLICACIÓN: (a+bi) ∙ (c+di)=(a∙c - b∙d) + (b∙c+a∙d) i
Teorema: √-1=i (la raíz cuadrada principal de -1)
Demostración: i ∙ i = i2 = -1. Por lo tanto: √-1 = i.
3. Ejemplos.
1. √-4=√(4)(-1)= √(4) √(-1)=2 i
2. (1 + 3i) + (4 - 8i) = 5 - 5i
3. (1 + 10i) - (5 - 6i) = - 4 +16i
4. (1 + i) ∙ (2 - 3i)=(2+3) + (2-3) i =5 - i
5. Escribir en notación binómica el siguiente número complejo: (1 + 2i) / (1 - i)
Solución:
(1 + 2i) / (1 - i) = [(1 + 2i) / (1 - i)]∙[(1+i)/(1+i)]=[(1+2i) ∙ (1+i)] / [(1-i) ∙ (1+i)]=(1+i+2i-2)/(2)=(-1+3i)/2=-1/2 + (3/2) i
4. Ejercicios para asesoría
A) Expresar en términos de i.1. √-100
2. √-121
3. √-8
4. √-1 + √-25
5. √-4 - √-64
1. (1+4i) + (4-5i)
2. (-5-8i)+(-7i+4)
3. (i) + (1)
4. (-1-i)+ (i+1)
5. (√-1)+(1-i)
C) Restar los siguientes números complejos.
1. (1 + 8i) - (9 - 5i)
2. (-5 - 7i) - (- 7i + 2)
3. (i + 5) - (1 + 5i)
4. (-6 - i) - (i - 1)
5. (√-1+5) - (1- 6i)
D) Multiplicar los siguientes números complejos.
1. (1 + i) ∙ (3 - 2i)
2. (-2 - 8i) ∙ (5 - i)
3. (1 - i) ∙ (-1- i)
4. (-√2 - √2 i) ∙ (√2 i + √2)
5. (1+ √-1) ∙ (- i)
E) Dividir los siguientes números complejos (escribir en notación binómica).
1. (1 + i) / (1 - 2i)
2. (-2 - 8i) / (- 8 + i)
3. (1 - i) / (-1- i)
4. (-2 - i) / (2 i + 2)
5. (3- i) / (- i)