1.1 Representación Polar

1. Módulo complejo

Definición: El módulo de un número complejo a+bi es:

√ (a2 + b2)

Notación:  Para denotar el módulo del número complejo a+bi, ponemos |a+bi| 

2. Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar el módulo de 3+4i

Solución:

|3+4i| = √( 32 + 42) = 5

Ejemplo 2. Hallar el módulo de 1 / i

Solución:

Sabemos que 1/i = -i, por lo que |1/i| = √( -1)2  = 1

3. Argumento complejo

Definición: El argumento de un número complejo a+bi es el ángulo  θ  tal que:

tan(θ ) =  b/a

Notación:  Para denotar el argumento del número complejo a+bi, ponemos arg(a+bi) 

4. Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar el argumento del número complejo 1+i.

Solución:

arg(1+i)=45°

Ejemplo 2. Hallar el argumento del número complejo  - 1/2 + √3/2  i.

Solución:




arg(-1/2 +√3/2 i)=120°

5. Representación polar

Definición: La representación polar de un número complejo a+bi es el par ordenado:

(r, θ)

donde r es el módulo de a+bi   y

θ es el argumento de a+bi

6. Recta polar

 

 

 

 

7. Circunferencia polar 

 

8. Cónica polar

9. Ejemplos

Ejemplo 1. Hallar la representación polar del número complejo 1+i.

Solución:
Puesto que:

|1+i| =√2,   y  arg(1+i) = 45°

entonces (√2, 45°) es la representación polar de 1+i  

7. Ejercicios

1. Hallar el módulo de los siguientes números complejos.

A.  (1+i) /  i


B.  1/2 + i


C.  1 - √2 i

2. Hallar el argumento de los siguientes números complejos.

A. 1-i

B. 1/2 + 3/4i

C. -1 - i

3. Hallar la representación polar de los siguientes números complejos.

A. -1+i

B. -i

C. - 1/2 + √3/2  i.