1.3 Raices n-ésimas de 1
1. Raíz cuadrada de número complejo
2. Representación trigonométrica
Definición: Si z = a+bi es la representación binómica de un número complejo entonces:
z = r Cos(θ)+ r Sen(θ)i
es la representación trigonométrica.
Donde r es el módulo y θ es el argumento de la representación polar de z.
3. Representación exponencial
La fórmula de Euler para números complejos afirma que:
e iy = Cos(y)+ Sen(y)i
Por lo que entonces si, z = x+yi es la representación binómica de un número complejo entonces:
z = r e iy
donde r es el módulo de z .
Esta última representación es conocida como la representación exponencial de un número complejo.
3.1 Identidad de Euler
Tenemos la siguiente identidad, conocida como identidad de Euler.
Como ejemplo de aplicación, tenemos el siguiente:
u v=(ab, α+β)
Demostración:
Sean u = a Cos(α)+ a Sen(α)i y v = b Cos(β)+ b Sen(β)i sus representaciones trigonométricas, entonces:
u v = (a Cos(α)+ a Sen(α)i ) (b Cos(β)+ b Sen(β)i) = a b [Cos(α) Cos(β) - Sen(α)Sen(β)] + ab [ Sen(α) Cos(β) + Cos(α)Sen(β) ] = a b [Cos(α+β)] + a b [ Sen(α+β) ]i = (ab, α+β)
Una consecuencia de este hecho, es el siguiente teorema conocido como teorema De Moivre
4. El teorema de Moivre
Teorema: Si u=a Cos(α)+ a Sen(α)i es la representacione trigonométrica del número complejo u y n es un número natural, entoncesu n = a n Cos(nα) + a n Sen(nα) i
En términos de representanción exponencial esto sería equivalente a lo siguiente :
(a e iα )n = (a n) (e inα )
Como ejemplo de aplicación, tenemos el siguiente:
Comparar con el método de integración por sustitución y de integración por partes, de este mismo ejemplo, en matemáticas 5.
5. Raíces de la unidad
Teorema: Si n es un número natural y z = (1, α) es un número complejo con módulo 1, entonces existen n raíces de z y son:Cos((α + 2kπ) / n ) + Sen((α + 2kπ) / n) i
k=1,2,3,...n
5.1 Animación de las raices de la unidad.
6. Ejemplos
7. Ejercicios
2. Hallar las 8 raíces del número complejo (1, 45°)
3. Hallar la integral de sen2(x), empleando representación exponencial.