4.1 Propiedades

 1. Determinante de una matriz

Definición:  Si A es una matriz nxn.

|A| es el determinante de la matriz A.

Ejemplo 1.











Observación: Si  I_n es la matriz identidad, entonces | I_n| = 1

2. Transformaciones elementales de matrices

 

3. Matrices elementales

4. Matrices inversas de matrices elementales 

Lema 1: Sean A matriz mxn y la matriz B que se obtiene de A por medio de una transformacion elemental, entonces  existe una matriz elemental E mxm tal que: B=E A ó  B=A E

Lema 2:  Sean E matriz elemental y A una matriz, entonces |AE|=|A||E| 

 

5. Transformaciones lineales

 

5.1. Rotación

 

 

5.2. Dilatación

Teorema:  Si A y B son matrices, entonces |AB| = |A| |B|

Prueba:

6. Matriz asociada a una transformacion lineal.

7. Ejemplos de Inversa de una matriz cuadrada.

Definición:  Si A es una matriz nxn, la matriz nxn B que cumple que AB=I y BA=I, se llama la matriz inversa de A y, se denota por:

 A^-1

Ejemplo 1. Hallar la matriz inversa haciendo transformaciones elementales de fila.



Ejemplo 2. Hallar la matriz inversa haciendo transformaciones elementales de columna.




Ejemplo 3: Una matriz inversa 3x3

Para hallar la matriz inversa

Corolario:  Sea A una matriz nxn. Si la matriz A es invertible, entonces: 

a)  |A| es diferente de cero.

b) |A^-1|  =  1 / |A|

7. Ejercicios

1. Resolver